Príspevok prezentuje známe metódy hodnotenia teploty chromatickosti ako jedného z dôležitých parametrov v oblasti kolorimetrie denného svetla. Naznačené sú inverzné algoritmy a základné parametre výpočtu teploty chromatickosti pre štandardizované zdroje svetla D podľa CIE. Cieľom práce je poukázať na presnosť jednotlivých algoritmov výpočtu chromatickosti pre vybrané fázy denného svetla.

1. Úvod

Denné svetlo ako dôležitá súčasť života je popísané mnohými matematickými vyjadreniami. V svetelnej technike, kde poznáme viacero hľadísk, najčastejšie vyjadrujeme denné svetlo žiarivými a fotometrickými veličinami. Svetlo z pohľadu fotometrie môžeme vyjadriť ako spektrálnu charakteristiku, ktorá vyjadruje energiu prislúchajúcich vlnových dĺžok. Zo spektrálnych charakteristík je možné okrem iného vyjadriť aj kolorimetrické parametre.

Článok prezentuje metódy výpočtu teploty chromatickosti denného svetla pri použití vstupných kolorimetrických údajov štandardizovaných zdrojov. Výsledky naznačujú odlišný prístup k výpočtu teploty chromatickosti, pričom ani jedna z uvádzaných metód nekalkuluje teplotu chromatickosti v identickej zhode s referenčnými hodnotami podľa CIE.

2. Teplota chromatickosti a jej vlastnosti

Teplota chromatickosti T je opísaná čiarou teplotného žiariča, ktorá zodpovedá žiareniu absolútne čierneho telesa pri rôznych teplotách. Jednotkou je Kelvin [K] alebo Mired [μrd]. Pre absolútne čierne teleso platí Planckov zákon

(1)

ktorý vyjadruje závislosť spektrálnej intenzity vyžarovania M_e,λ absolútne čierneho telesa od teploty T[K] a vlnovej dĺžky λ[nm]. Konštanty c₁ a c₂ sú pevne definované. Náhradnou teplotou chromatickosti T_cp sú opísané svetelné zdroje, ktorých spektrálny priebeh nezodpovedá spektrálnemu zloženiu teplotných žiaričov. Teplotu chromatickosti je možné priradiť svetlu, ktoré vyjadruje buď chromatickosť umelého zdroja alebo denného svetla. Pri svetelných zdrojoch sa využíva T ako rozlišovací prvok pre farby svetla s rôznym farebným tónom, obr. 1.

Obr.1 Znázornenie teploty chromatickosti pre rôzne zdroje a farebné tóny.

Farbu vieme opísať kolorimetrickými sústavami. Zakladajú sa na tom, že ľubovoľný farebný podnet vieme nahradiť zmesou troch vhodne zvolených merných podnetov. Bežne používané kolorimetrické sústavy sú RGB, CIE XYZ, CIE LUV, CIE LAB apod., ktoré prezentujú farbu svetla matematicko – fyzikálnymi modelmi.

Denné svetlo predstavuje zmes priameho a difúzneho slnečného žiarenia, ktoré je ohraničené pásmom vlnových dĺžok cca 380 nm až 780 nm pri spektrálnom vyjadrení. V tab. 1 sa nachádzajú štandardizované zdroje denného svetla. Tie opisujú určité spektrálne charakteristiky, a je nimi možné popísať stav denného svetla, napr. D65 vyjadruje zamračenú oblohu, [1]. Súradnice chromatickosti x_D, y_D denného svetla sú v diagrame chromatickosti ležiace na krivke denného svetla, ktorá je posunutá vzhľadom na krivku absolútne čierneho žiariča, obr. 2. V diagramoch chromatickosti CIE (International commission on illumination – Medzinárodná komisia pre osvetlenie) je možné zobraziť teplotu chromatickosti do hodnoty cca 10₅ Kelvinov.

Tab 1. Kolorimetrické parametre zdrojov pre 2° kolorimetrického pozorovateľa.

Zdroj	D50		D55		D65		D75
Chromatické súradnice	x	y	x	y	x	y	x	y
	0,3457	0,3585	0,3324	0,3474	0,3127	0,3290	0,2990	0,3149
Teplota chromatickosti	5002.78 K		5503.06 K		6503.62 K		7504.17 K

Obr. 2. Diagram chromatickosti s vybranými zdrojmi reprezentujúcimi denné svetlo.

3. Metódy pre výpočet teploty chromatickosti denného svetla

V kolorimetrii denného svetla existuje mnoho empirických vzťahov pre výpočet teploty chromatickosti. Metódy výpočtu sú založené na interpolácii, iterácii a konvergencii hodnôt teploty chromatickosti. V nasledujúcom texte budú prezentované: Robertsonova metóda, MacCamyho vzťah a Hernandéz – Andrésov vzťah. Pre porovnanie bol zaradený aj internetový kalkulátor kolorimetrických parametrov, autorom je Lindbloom, [2]. Verifikovaným parametrom je teplota chromatickosti T na základe vstupného údaju vo forme chromatických súradníc (x,y).

3.1 Robertsonova metóda

Robertsonova metóda je jedna z najstarších metód na výpočet teploty chromatickosti a využívala sa v dobe bez osobných počítačov. Metóda je založená na lineárnej interpolácií hodnôt T z izotermálnych čiar v kolorimetrickom diagrame CIE 1960 UCS, [5]. Výpočet je odporúčané počítať podľa daného vzťahu

(2)

kde T_i+1 predstavuje teplotu chromatickosti hľadaných izoterm s podmienkou T_ici+1, pričom θ₁ a θ₂ sú uhly medzi T_i a T_c, resp. T_i+1 a T_c. Úpravou vzťahu a odvodením sa určí maximálna možná vzdialenosť hľadanej T od plankovskej krivky a pre vzdialenosť musí platiť ∆_uv≦5*10^-2.

3.2 McCamyho formula

McCamy odvodil v roku 1992 matematickú formulu na explicitné vyjadrenie teploty chromatickosti T, [3]. Zadávaným parametrom sú v tomto prípade chromatické súradnice. Platnosť vzťahu je od 2222 K do 13 000 K, autor udáva maximálnu chybu dva Kelviny v intervale T = 2856 až 6504 K, [3]. Vzťah po úprave je možné vyjadriť

(3)

kde pre n platí

(4)

a pre epicentrum je uvádzané x_e = 0,3320 a y_e = 0,1858.

3.3 Hernández – Andrésov vzťah

Posledným testovaným vzťahom podľa Hernándeza – Andrésa je empirický vzťah, ktorý pracuje s dvoma epicentrami tab. 2. Jeho platnosť je od 3 kK do 800 kK, [4]. Vzťah je odvodený z McCamyho polynómu a je daný

(5)

kde pre n platí identická definícia ako pre McCamyho vzťah. Pričom na základe veľkosti T sa zvolí epicentrum.

Tab. 2 Koeficienty metódy podľa Hernandéz – Andrésa.

Parameter Parameter 3 – 50 kK 50 – 800 kK x_e 0,3366 0,3356 y_e 0,1735 0,1691 A₀ -949,86315 36284,48953 A₁ 6253,80338 0,00228 t₁ 0,92159 0,07861 A₂ 28,70599 5,4535.10^-36 t₂ 0,20039 0,01543 A₃ 0,00004 t₃ 0,07125

4. Porovnanie metód a výsledky

Pre test boli zvolené hodnoty chromatických súradníc (x,y) štandardizovaných zdrojov denného svetla D50, D55, D65 a D75 podľa CIE tab.1. Výsledky testu tab.3 preukazujú rozdielnosť jednotlivých postupov. V tab. 3 sú naznačené maximálne a minimálne rozdiely chromatickosti.

Tab. 3 Teplota chromatickosti kalkulovaná vyššie uvedenými metódami.

Zdroj	D50		D55		D65		D75
Chromatické súradnice	x	y	x	y	x	y	x	y
	0,34567	0,35850	0,33242	0,34743	0,31271	0,32902	0,29902	0,31485
Robertson	5002.72		5501.53		6501.48		7505.18
McCamy	5002.09		5502.62		6504.38		7503.15
Hernández	5002.41		5501.53		6500.04		7503.42
Lindbloom	5001.8		5501.5		6503		7506
	Minimálny rozdiel od referenčných hodnôt CIE				Maximálny rozdiel od referenčných hodnôt CIE

Rozdiel v hodnote T použitými metódami je minimálny od referenčných hodnôt CIE. Najnižšia presnosť výpočtu T pri zdrojoch D50, D55, D75 bola zaznamenaná Lindbloomovým kalkulátorom. Hernández – Andrésova metóda vykazuje v oblasti štandardnej teploty chromatickosti 6500 K najnižšiu presnosť. Výhoda Hernández – Andrésovej metódy spočíva, že ako jediná z testovaných metód je platná aj nad rozsahom štandardizovanej T = 25 kK podľa CIE. Je schopná vyjadriť reálne hodnoty T zaznamenané pri meraní denného svetla, ktoré dosahujú v praxi 35 kK a viac. Všeobecne je možné výsledky metód, obr.3, považovať za identické, a iba v niektorých prípadoch sa nachádzajú odlišnosti.

Obr. 3 Znázornenie teplôt chromatickosti T rôznymi metódami. (Poznámka: C50 = C – metóda CIE, 50 – teplota chromatickosti 5000 K apod., označenie M – McCamy, L – Lindbloom, H – Hernandéz-Andrés, R – Robertson).

Robertsonov, McCamyho a Lindbloomov algoritmus na výpočet kolorimetrických parametrov je dostatočne presný. Trend rastu chyby k hodnote 6500 K indikovaný Hernandezovým algoritmom je naznačený v obr.4, a v prípade výpočtu je možné previesť korekciu. V oblasti vyšších hodnôt T ≥ 35 kK bude chyba akceptovateľná.

Obr. 4 Štandardné odchýlky (SD) jednotlivých metód. CIE hodnoty sú referenčné.

Pri štandardizovaných hodnotách denného svetla sú odchýlky veľmi nízke. Pri vyšších hodnotách T = 25 kK, s uvážením chromatických súradníc x = 0,24985 a y = 0,25479, je pri použití McCamyho vzťahu odchýlka 22,4 %, pri použití Hernández – Andrésovho vzťahu je odchýlka iba 0,08 %, čo potvrdzuje vhodnosť použitia tejto metódy pri vyšších hodnotách T.

5. Záver

V príspevku boli prezentované tri typy známych metód na výpočet teploty chromatickosti denného svetla, ktoré boli doplnené on-line kalkulátorom chromatickosti. Pri metódach sa preukázala citlivosť metód na vstupné údaje, na ktorých závisia výstupy, kde výsledky nie vždy korešpondujú s referenčnými hodnotami CIE. Nie všetky použité metódy umožňujú spracovanie chromatických súradníc v hodnotách 10^-6.

Test Lindbloomovho kalkulátoru teploty chromatickosti vyšiel z testu ako najmenej presný pri porovnaní s hodnotami chromatickosti definovanými CIE. Problém spočíva v algoritme programu, ktorý hodnoty zaokrúhľuje a vznikajú nepresnosti. Ako najpresnejší algoritmus na výpočet chromatickosti štandardov denného svetla sa preukázal vzťah podľa McCamyho.

Numerické metódy na hodnotenie kolorimetrických parametrov a ich aplikácia je závislá od očakávanej oblasti použitia. Všeobecne sa takto presné výpočty teploty chromatickosti nepoužívajú, a majú svoje uplatnenie iba v úzkoprofilových a špecializovaných odvetviach, napr. návrhu kolorimetrických meracích systémov apod. Presný výpočet teploty chromatickosti ako jedného z kolorimetrických ukazovateľov je náročný na vstupné údaje a zvolenú metódu. Existuje mnoho postupov a výpočtových programov, avšak ani to nezaručuje, že teplota chromatickosti bude vypočítaná v absolútnej zhode s platnými štandardami.

Literatúra

1. CIE – Commission Internationale de L’Eclairage, (2004), Colorimetry, 3rd edition, Cie015:2004, ISBN: 9783901906336.
2. Lindbloom B., (2011), Dostupné na internete. Online
   http://www.brucelindbloom.com/
3. McCamy, C. S., (1992), Correlated color temperature as an explicit function of chromaticity coordinates, Color Research and Application 17, 2, 142–144 .
4. Hernández-Andrés, Javier; Lee, RL; Romero, J (1999). Calculating Correlated Color Temperatures Across the Entire Gamut of Daylight and Skylight Chromaticities. Applied Optics 38 (27): 5703–5709.
5. A. R. Robertson, (1968), Computation of correlated color temperature and distribution temperature, J. Opt. Soc. Am. 58, 1528–1535.

---

Ústav elektroenergetiky a aplikovanej elektrotechniky, FEI STU, Ilkovičova 3, 812 19 Bratislava 1, Slovak Republic